通过制定教学计划，教师可以对教学内容、教学方法和教学资源进行合理的调配和安排。教学计划的编写要注重教学目标和学科核心素养的培养，以下是一些教学计划范例供大家参考。
二次根式乘除教学设计
2、内容解析。
二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式。
1、教学目标。
（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；
（3）理解最简二次根式的概念、
2、目标解析。
（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；
（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算。
（3）通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行、二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算、教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向。
本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
1、复习提问，探究规律。
问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？
师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则。
二次根式教学设计
1、通过二次根式混合运算的学习，进一步了解二次根式运算法则，知道二次根式混合运算顺序，会进行二次根式的混合运算。
2、在进行二次根式混合运算的过程中，体会类比思想，逐步养成认真仔细的学习品质，进一步提高运算能力。
教学难点：类比整式运算准确快速的进行二次根式的混合运算。
教学过程：
一、情境诱导。
二、练习指导。
(学生完成练习提纲,可以讨论,老师做必要的板书准备,然后巡回指导,了解情况、)。
三、展示归纳。
1、学生汇报解题过程,生说师写;。
2、发动其他学生评价补充完善;。
3、师画龙点睛强调:。
(1)二次根式混合运算的运算顺序跟有理数运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减。
（2）二次根式混合运算与整式的运算有很多相似之处，因此可类比整式的运算进行二次根式的混合运算。
四、变式练习。
(先让学生独立完成，老师做必要的板书准备后巡回指导，了解情况；然后让有一定问题的学生汇报展示，发动学生评价完善，老师强调关键地方，总结思想方法。）。
五、小结。
本节课你有哪些收获？还有什么要提醒同学们注意的。（学生总结，百花齐放，老师不做限定，没说到的，老师补充。）。
六、布置作业。
中学二次根式除法教学设计
这节课的主要目标有二:。
2。体验到分母有理化最简方法是先局部化简;。
对于第一个目标期望学生能自行归纳出来最简二次根式一般形式就最好,对于第二个目标让学生自行体验到先化简再分母有理化的方法是最简方法.
今天上午结束这节课后,颇有感触.同学们讨论问题提的时候自始至终非常专注,而且很高效,有三个几乎从来不举手回答问题的同学能大胆走上讲台给大家讲解二次根式一道除法题的三种解法,他们的登台引起全班同学的欢呼.这是组员们的'努力所带来的结果.对于这节课有以下几点值得思考:。
问题的设置:。
这节课为了让同学掌握二次根式的定义,我直接抛出“什么是二次根式”。
这个问题让同学们去讨论,但后来效果并没有达到我想象的高度.其实后来想想这个问题的设置不能过于直接,应当列举诸多二次根式,让同学们判断哪些是二次根式,并讨论其理由,这样引导学生从感性过渡到理性.从而顺利掌握这个概念的本质.所以问题的设置不能死板,教条,要多样化,其目的是让学生能高效的掌握知识本身.
教学的规律：
1.循序渐进:这节课原本很希望学生能在一节课内就体会到先局部化简后在进行分母有理化的方法计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想这一节课是否,对于第二个教学目标只能是一个循序渐进的过程,应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就行.
2.作业的处理:以前处理作业中总是对于做错的题目给一个红叉,并每一份作业评分.从现在开始,作业不再给红叉,用横线标注代替红叉,也不给评分.让孩子们关注的永远是知识本身,对于作业始终强调的是诚实的独立作业,认真的纠错这两点.
二次根式教学设计
2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点。
教学难点。
一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程。
1．把下列各根式化简，并说出化简的根据：
2．引导学生观察考虑：
化简前后的根式，被开方数有什么不同？
化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
3．启发学生回答：
二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？
1．总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：
满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。
2．练习：
下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：
3．例题：
例1把下列各式化成最简二次根式：
例2把下列各式化成最简二次根式：
4．总结。
把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？
当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。
此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
1．把下列各式化成最简二次根式：
2．判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果不是，把它化成最简二次根式。
二次根式乘除教学设计
（2）会用公式化简二次根式。
（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；
（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式。
教学问题诊断分析。
本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难、运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气、，培养学生良好的运算习惯。
在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简。
本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简。
1、复习引入，探究新知。
问题1什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？
师生活动学生回答。
【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质。
问题2教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容。
2、观察比较，理解法则。
问题3简单的根式运算。
师生活动学生动手操作，教师检验。
问题4二次根式的乘除成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？
师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质。
【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况、乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力。
3、例题示范，学会应用。
例1化简：（1）二次根式的乘除；（2）二次根式的乘除。
师生活动提问：你是怎么理解例（1）的？
师生合作回答上述问题、对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质二次根式的乘除将其移出根号外、。
再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？
例2计算：（1）二次根式的乘除；（2）二次根式的乘除；（3）二次根式的乘除。
师生活动学生计算，教师检验。
（3）例（3）的运算是选学内容、让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算、本题先利用积的算术平方根的性质，得到二次根式的乘除，然后利用二次根式的乘法法则，变成二次根式的乘除，由于二次根式的乘除可以判断二次根式的乘除，因此直接将x移出根号外、。
【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算、让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用。
教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号、可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题。
4、巩固概念，学以致用。
练习：教科书第7页练习第1题、第10页习题16、2第1题。
【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况。
5、归纳小结，反思提高。
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？
（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？
（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？
6、布置作业：教科书第7页第2、3题、习题16、2第1，6题。
1、下列各式中，一定能成立的是（）。
【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础。
2、化简二次根式的乘除______________________________。
【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式。
3、已知二次根式的乘除，化简二次根式二次根式的乘除的结果是（）。
【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式。
二次根式教学设计
教学目标：
掌握二次根式的概念；根据二次根式的概念掌握被开方数的取值范围。
教学重难点：
重点：二次根式的概念以及二次根式有意义的条件；
难点：根据要求求满足条件的字母的取值范围。
教学方法：先学后教，当堂训练。
课时安排：一课时。
教学过程：
1、知识回顾。
1、算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的`算数平方根。
2、正数的算数平方根是正数，0的算数平方根是0，负数没有平方根。
2、板书课题。
3、出示学习目标。
4、出示自学指导。
自学教材2、3页，完成下列各题：
1、完成第二页思考题，找出二次根式的概念；
3、式子有意义的条件；
4、完成《基础训练》课前预习。
5、检测。
3、式子有意义的条件。
4、课前预习讲解。
6、练习。
1、教材3页练习题；
2、习题16.1第1、7题；
3、《基础训练》课堂练习。
7、小结。
8、作业。
1、课本19页第一题。
2、《基础训练》课后练习。
3、思考学习拓展。
9、教学反思。
1、因为学生已学习过算数平方根，所以对本节课知识能较快掌握；
2、本节课的关键在于掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。同时结合之前所学知识能解答式子有意义时字母的取值范围。
3、学习之初应加强练习，把课堂还给学生，发挥学生主动型。
二次根式教学设计
3.a、b层同学自主学习15页例1、例2、例3，c层同学至少完成例1、例2的学习。
小结：
这节课你学到了什么知识？你有什么收获？
作业：课堂练习册第5、6页。
自学的`同时抽查部分同学在黑板上板书计算过程。抽2名c层同学在黑板上完成例1板书过程，学生在计算时若出现错误，抽2名b层同学订正。抽2名b层同学在黑板上完成例2板书过程，若出现错误，再抽2名a层同学订正。抽1名a层同学在黑板上完成例3板书过程，并做适当的分析讲解。
此题是联系实际的题目，需要学生先列式，再计算。并将结果精确到0.1m，学生考虑问题要全面，不能漏掉任何一段钢材。
老师提示：
1）解决问题的方案是否得当;2）考虑的问题是否全面。3）计算是否准确。
a层同学完成16页练习1、2、3；b层同学完成练习1、2，可选做第3题；c层同学尽量完成练习1、2。多数同学完成后，让学生在小组内互相检查，有问题时共同分析矫正或请教老师。也可以抽查部分同学。例如：抽3名c层同学口答练习1；抽4名b层或c层同学在黑板上板书练习第2题；抽1名a层或b层同学在黑板上板书练习第3题后再分析讲解。
点拨：
1）对的化简是否正确；
2）当根式中出现小数、分数、字母时，是否能正确处理；
3）运算法则的运用是否正确。
先测试，再小组内互批，查找问题。学生反思本节课学到的知识，谈自己的感受。
小结时教师要关注：
1)学生是否抓住本课的重点；
2)对于常见错误的认识。
把学习目标由高到低分为a、b、c三个层次，教学中做到分层要求。
学生学习经历由浅到深的过程，可以提高学生能力，同时有利于激发学生的探索知识的欲望。
将二次根式的加减运算融入实际问题中去，提高了学生的学习兴趣和对数学知识的应用意识和能力。
小组成员互相检查学生对于新的知识掌握的情况，巩固学生刚掌握的知识能力。达到共同把关、合作互助的目的。
培养学生的计算的准确性，以培养学生科学的精神。
对课堂的问题及时反馈，使学生熟练掌握新知识。
每个学生对于知识的理解程度不同，学生回答时教师要多鼓励学生。
二次根式教学设计
（2）会进行简单的二次根式的除法运算;。
本节内容主要是在做二次根式的`除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行。二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算。教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向。
重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．。
难点：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
4。1第一学时。
问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？
师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．。
2．观察思考，理解法则。
问题2教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：。
问题3对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
师生活动学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了。
【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误。
问题4对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
师生活动学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数。
【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算。
问题5对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？
师生活动学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即。利用该性质可以进行二次根式的化简。
问题2教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：。
问题3对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
师生活动学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了。
【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误。
问题4对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
师生活动学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数。
【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算。
问题5对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？
师生活动学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即。利用该性质可以进行二次根式的化简。
例1计算：（1）；（2）；（3）。
师生活动提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？
【设计意图】通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算技能，
问题5你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？
师生活动学生总结，师生共同补充、完善。要总结出：
（1）这些根式的被开方数都不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（3）分母中不含根号；
【设计意图】引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式。
问题6课件展示一组二次根式的计算、化简题。
【设计意图】让学生用总结出的结论进行二次根式的运算。
例2教材第9页例7。
再提问章引言中的问题现在能解决了吗？
【设计意图】巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力。
1．在、、中，最简二次根式为。
【设计意图】考查对最简二次根式的概念的理解。
2．化简下列各式为最简二次根式：；。
【设计意图】复习二次根式的运算法则和运算性质。鼓励学生用不同方法进行计算。对于分母含二次根式的处理，要结合整式的乘法公式进行计算。
3．化简：（1）；（2）。
【设计意图】综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运算。
教科书第10页练习第1，2，3题；
教科书习题16。2第10，11题。
二次根式教学设计
2、掌握把二次根式化为最简二次根式的方法。
重点：化二次根式为最简二次根式的方法。
计算：
我们再看下面的问题：
简，得到。
从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行化简，会对解决问题带来方便。
答：
1、被开方数的因数是整数或整式；
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
例1试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
解
（1）不是最简二次根式。因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开方数中有开得尽方的因式。整数。
（3）是最简二次根式。因为被开方数的因式x2＋y2开不尽方，而且是整式。
（4）是最简二次根式。因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整式。
（5）是最简二次根式。因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整式。
（6）不是最简二次根式。因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得尽的因数22。
指出：从（1），（2），（6）题可以看到如下两个结论。
1、在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
2、在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
例2把下列各式化为最简二次根式：
分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质。
例3把下列各式化成最简二次根式：
分析：题（1）的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分母有理化，把原式化成最简二次根式。
题（2）及题（3）的被开方数是分式，先应用商的算术平方根的性质把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简二次根式。
通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式的方法。
答：如果被开方数是分式或分数（包括小数）先利用商的算术平方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简。
如果被开方数是整式或整数，先把它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简。
a、2b、3。
c、1d、0。
3、把下列各式化成最简二次根式：
答案：
1、b。
2、b。
1、最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
2、把一个式子化为最简二次根式的方法是：
（2）如果被开方数含有分母，应去掉分母的根号。
1、把下列各式化成最简二次根式：
2、把下列各式化成最简二次根式：
二次根式的乘除教学反思
这节课教学困难重重，因为经过一个星期的了解，整个班学生八年级升九年级的期末考试数学科目最高分56分，于是五十几分的就成了本班的数学宝贝了，可五十几分包括56分只有四人，三十几分也没几个，其他了都是二十几以下了，学生已有的的数学基础少得可怜，所以学生学习起来很困难，教学也寸步难行，虽然本节课的重点是二次根式的乘除法法则，难点是灵活运用法则进行计算和化简，但是学生难明白只能放慢进度，学生学会一点点，极少数的人掌握了都成了我坚持的理由。
教学的开始从小学的口诀复习引入，进入两个相同的`数相乘用某数的平方表示的学习，才真正进入九年级探究将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则，利用这个法则进行二次根式的乘法和除法运算。
数学二次根式的乘除第一课时学案
例1判断：
（1）；（）。
（2）；（）。
（3）；（）。
（4）；（）。
（5）．（）。
（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）。
例2计算：
（1）．。
解：
．
（2）．。
解：
．
（3）．。
解：
．
（4）．。
解：
．
小结：二次根式加减运算的步骤：
（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．。
（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．。
（3）合并同类二次根式．。
例3当，时，求代数式的值．。
解：
．
当时，时，
原式。
．
例4已知，求下列各式的.近似值（精确到0.01）：
（1）；
（2）．。
解：（1）．。
当时，
原式．。
（2）。
．
当时，
原式．。
注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．。
（二）随堂练习。
计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．。
（三）总结、扩展。
可通过例题加以说明．。
练习：教材p191中2（6）、（7），3；p194中7。
（四）布置作业。
（五）板书设计。
标题。
1．例题2．练习题。
例1……3．小结。
例2……。
例3……。
八、背景知识与课外阅读。
运算。
最简二次根式
重点和难点。
过程设计。
计算：
我们再看下面的问题：
简，得到。
从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行化简，会对解决问题带来方便.
答：
1.被开方数的因数是整数或整式；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式.
(l)不是最简二次根式.因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开方数中有开得尽方的因式.
整数.
(3)是最简二次根式.因为被开方数的因式x2＋y2开不尽方，而且是整式.
(4)是最简二次根式.因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整式.
(5)是最简二次根式.因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整式.
(6)不是最简二次根式.因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得尽的因数22.
指出：从(1)，(2)，(6)题可以看到如下两个结论.
1.在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
2.在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.
分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质。
分析：题(l)的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分母有理化，把原式化成最简二次根式.
题(2)及题(3)的被开方数是分式，先应用商的算术平方根的性质把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简二次根式.
通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式的方法.
答：如果被开方数是分式或分数(包括小数)先利用商的算术平方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.
如果被开方数是整式或整数，先把它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简.
a.2b.3。
c.1d.0。
答案：
1.b。
2.b。
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
(2)如果被开方数含有分母，应去掉分母的根号.
答案：
最简二次根式
2.会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
1.把下列各根式化简，并说出化简的根据：
2.引导学生观察考虑：
化简前后的根式，被开方数有什么不同？
化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
3.启发学生回答：
二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？
1.总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：
满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。
2.练习：
下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：
3.例题：
4.总结。
把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？
当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。
此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
2.判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果不是，把它化成最简二次根式。
本节课学习了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。同学们掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式，要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式，特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解，被开方数为两个分数的和则要先通分，再化简。
字).
数学二次根式的乘除第一课时学案
二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2、内容解析。
二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式。
二、目标和目标解析。
1、教学目标。
（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；
2、目标解析。
（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；
（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算。
（3）通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
三、教学问题诊断分析。
本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行、二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算、教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向。
本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
四、教学过程设计。
1、复习提问，探究规律。
问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？
师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则。
五、目标检测设计。
数学二次根式的乘除第一课时学案
（2）会用公式化简二次根式。
2、目标解析。
（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；
（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式。
教学问题诊断分析。
本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难、运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气、，培养学生良好的运算习惯。
在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简。
本节课的教学难点为：二次根式的`性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简。
教学过程设计。
1、复习引入，探究新知。
问题1什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？
师生活动学生回答。
【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质。
问题2教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容。
2、观察比较，理解法则。
问题3简单的根式运算。
师生活动学生动手操作，教师检验。
问题4二次根式的乘除成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？
师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质。
【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况、乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力。
3、例题示范，学会应用。
例1化简：（1）二次根式的乘除；（2）二次根式的乘除。
师生活动提问：你是怎么理解例（1）的？
师生合作回答上述问题、对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质二次根式的乘除将其移出根号外、。
再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？
例2计算：（1）二次根式的乘除；（2）二次根式的乘除；（3）二次根式的乘除。
师生活动学生计算，教师检验。
（3）例（3）的运算是选学内容、让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算、本题先利用积的算术平方根的性质，得到二次根式的乘除，然后利用二次根式的乘法法则，变成二次根式的乘除，由于二次根式的乘除可以判断二次根式的乘除，因此直接将x移出根号外、。
【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算、让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用。
教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号、可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题。
4、巩固概念，学以致用。
练习：教科书第7页练习第1题、第10页习题16、2第1题。
【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况。
5、归纳小结，反思提高。
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？
（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？
（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？
6、布置作业：教科书第7页第2、3题、习题16、2第1，6题。
五、目标检测设计。
1、下列各式中，一定能成立的是（）。
【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础。
【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式。
3、已知二次根式的乘除，化简二次根式二次根式的乘除的结果是（）。
【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式。
二次根式教学设计
1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．。
2．能判断二次根式中的同类二次根式．。
3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．。
（二）能力训练点。
通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．。
（三）德育渗透点。
（四）美育渗透点。
通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．。
二、学法引导。
三、重点·难点·疑点及解决办法。
四、课时安排。
2课时。
五、教具学具准备。
投影片。
1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．。
七、教学步骤。
（一）明确目标。
（二）整体感知。
二次根式教学设计
（2）会进行简单的二次根式的除法运算;。
2学情分析。
本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行。二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算。教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向。
3重点难点。
重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．。
难点：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
4教学过程。
4。1第一学时。
教学活动。
活动1【导入】复习提问，探究规律。
问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？
师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．。
2．观察思考，理解法则。
问题2教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：。
问题3对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
师生活动学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了。
【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误。
问题4对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
师生活动学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数。
【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算。
问题5对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？
师生活动学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即。利用该性质可以进行二次根式的化简。
活动2【讲授】观察思考，理解法则。
问题2教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：。
问题3对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
师生活动学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了。
【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误。
问题4对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
师生活动学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数。
【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算。
问题5对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？
师生活动学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即。利用该性质可以进行二次根式的化简。
活动3【活动】例题示范，学会应用。
例1计算：（1）；（2）；（3）。
师生活动提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？
【设计意图】通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算技能，
问题5你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？
师生活动学生总结，师生共同补充、完善。要总结出：
（1）这些根式的被开方数都不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（3）分母中不含根号；
【设计意图】引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式。
问题6课件展示一组二次根式的计算、化简题。
【设计意图】让学生用总结出的结论进行二次根式的运算。
活动4【练习】巩固概念，学以致用。
例2教材第9页例7。
再提问章引言中的问题现在能解决了吗？
【设计意图】巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力。
活动5【测试】目标检测设计。
1．在、、中，最简二次根式为。
【设计意图】考查对最简二次根式的概念的理解。
2．化简下列各式为最简二次根式：；。
【设计意图】复习二次根式的运算法则和运算性质。鼓励学生用不同方法进行计算。对于分母含二次根式的处理，要结合整式的乘法公式进行计算。
3．化简：（1）；（2）。
【设计意图】综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运算。
活动6【作业】布置作业。
教科书第10页练习第1，2，3题；
教科书习题16。2第10，11题。
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数学二次根式的乘除第一课时学案
上学期在教本节课开始时，首先由一个要在一块长方形木板上截出两块面积不等的正方形，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算?这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。
本节课是二次根式加减的第一节课，它是在二次根式的乘除的基础上的进一步学习，目的是探索二次根式加减法运算法则，在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：
1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则。
2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力。
3.对法则的教学与整式的加减比较学习。
在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣。